2x^2+3x-90=0 सोडवा

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 2x^{2}+ax+bx-90 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b सकारात्‍मक असल्‍याने, सकारात्‍मक नंबरमध्‍ये नकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -180 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

बेरी 3 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-12 b=15$$

\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right) प्रमाणे 2x^{2}+3x-90 पुन्हा लिहा.

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

पहिल्‍या आणि 15 मध्‍ये अन्‍य समूहात 2x घटक काढा.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून x-6 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, x-6=0 आणि 2x+15=0 सोडवा.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 2, b साठी 3 आणि c साठी -90 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

वर्ग 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

2 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-90 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

9 ते 720 जोडा.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

729 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{-3±27}{4} सोडवा. -3 ते 27 जोडा.

$$x=\frac{24}{4}$$

24 ला 4 ने भागा.

$$x=6$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{-3±27}{4} सोडवा. -3 मधून 27 वजा करा.

$$x=-\frac{30}{4}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-30}{4} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{15}{2}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 90 जोडा.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

-90 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

0 मधून -90 वजा करा.

$$2x^{2}+3x=90$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

2 ने केलेला भागाकार 2 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 ला 2 ने भागा.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

\frac{3}{2} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, \frac{3}{4} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{4} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून \frac{3}{4} वर्ग घ्या.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

45 ते \frac{9}{16} जोडा.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

घटक x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

सरलीकृत करा.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{4} वजा करा.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$