2n^2-7n-345=0 सोडवा

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

n साठी सोडवा

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$n=15$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 2n^{2}+an+bn-345 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -690 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

बेरी -7 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-30 b=23$$

\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right) प्रमाणे 2n^{2}-7n-345 पुन्हा लिहा.

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

पहिल्‍या आणि 23 मध्‍ये अन्‍य समूहात 2n घटक काढा.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून n-15 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-15=0 आणि 2n+23=0 सोडवा.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 2, b साठी -7 आणि c साठी -345 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

वर्ग -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

2 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

-345 ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

49 ते 2760 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

2809 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

-7 ची विरूद्ध संख्या 7 आहे.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{7±53}{4} सोडवा. 7 ते 53 जोडा.

$$n=\frac{60}{4}$$

60 ला 4 ने भागा.

$$n=15$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{7±53}{4} सोडवा. 7 मधून 53 वजा करा.

$$n=-\frac{46}{4}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-46}{4} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n=-\frac{23}{2}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 345 जोडा.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

-345 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

0 मधून -345 वजा करा.

$$2n^{2}-7n=345$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

2 ने केलेला भागाकार 2 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

-\frac{7}{2} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{7}{4} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{4} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{7}{4} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{345}{2} ते \frac{49}{16} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

घटक n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{7}{4} जोडा.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$