18x^2-9x-5=0 सोडवा

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

x साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 18x^{2}+ax+bx-5 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -90 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

बेरी -9 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-15 b=6$$

\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right) प्रमाणे 18x^{2}-9x-5 पुन्हा लिहा.

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

18x^{2}-15x मधील 3x घटक काढा.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 6x-5 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 6x-5=0 आणि 3x+1=0 सोडवा.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 18, b साठी -9 आणि c साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

वर्ग -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

18 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-5 ला -72 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

81 ते 360 जोडा.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

441 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 ची विरूद्ध संख्या 9 आहे.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

18 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{9±21}{36} सोडवा. 9 ते 21 जोडा.

$$x=\frac{30}{36}$$

6 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{30}{36} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=\frac{5}{6}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{9±21}{36} सोडवा. 9 मधून 21 वजा करा.

$$x=-\frac{12}{36}$$

12 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-12}{36} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{1}{3}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

0 मधून -5 वजा करा.

$$18x^{2}-9x=5$$

दोन्ही बाजूंना 18 ने विभागा.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

18 ने केलेला भागाकार 18 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

9 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-9}{18} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

-\frac{1}{2} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{1}{4} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{1}{4} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{1}{4} वर्ग घ्या.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{18} ते \frac{1}{16} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

घटक x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

सरलीकृत करा.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{4} जोडा.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$