13n^2-41n-120=0 सोडवा

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n साठी सोडवा

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 13n^{2}+an+bn-120 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -1560 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

बेरी -41 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-65 b=24$$

\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) प्रमाणे 13n^{2}-41n-120 पुन्हा लिहा.

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

पहिल्‍या आणि 24 मध्‍ये अन्‍य समूहात 13n घटक काढा.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून n-5 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, n-5=0 आणि 13n+24=0 सोडवा.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 13, b साठी -41 आणि c साठी -120 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

वर्ग -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

13 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-120 ला -52 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

1681 ते 6240 जोडा.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 चा वर्गमूळ घ्या.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 ची विरूद्ध संख्या 41 आहे.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

13 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

आता ± धन असताना समीकरण n=\frac{41±89}{26} सोडवा. 41 ते 89 जोडा.

$$n=\frac{130}{26}$$

130 ला 26 ने भागा.

$$n=5$$

आता ± ऋण असताना समीकरण n=\frac{41±89}{26} सोडवा. 41 मधून 89 वजा करा.

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-48}{26} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$n=-\frac{24}{13}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 120 जोडा.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

0 मधून -120 वजा करा.

$$13n^{2}-41n=120$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 ने केलेला भागाकार 13 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

-\frac{41}{13} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{41}{26} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{41}{26} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{41}{26} वर्ग घ्या.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{120}{13} ते \frac{1681}{676} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

घटक n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

सरलीकृत करा.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{41}{26} जोडा.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$