12r^2-11r-15=0 सोडवा

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r साठी सोडवा

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 12r^{2}+ar+br-15 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab नकारात्‍मक असल्‍याने, a व b मध्‍ये विरुद्ध चिन्‍हे आहेत. a+b नकारात्‍मक असल्‍याने, नकारात्‍मक नंबरमध्‍ये सकारात्‍मकतेपेक्षा परिपूर्ण मूल्‍य आहे. -180 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

बेरी -11 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=-20 b=9$$

\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) प्रमाणे 12r^{2}-11r-15 पुन्हा लिहा.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

पहिल्‍या आणि 3 मध्‍ये अन्‍य समूहात 4r घटक काढा.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 3r-5 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 3r-5=0 आणि 4r+3=0 सोडवा.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 12, b साठी -11 आणि c साठी -15 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

वर्ग -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

12 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-15 ला -48 वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

121 ते 720 जोडा.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 चा वर्गमूळ घ्या.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 ची विरूद्ध संख्या 11 आहे.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

12 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

आता ± धन असताना समीकरण r=\frac{11±29}{24} सोडवा. 11 ते 29 जोडा.

$$r=\frac{40}{24}$$

8 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{40}{24} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$r=\frac{5}{3}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण r=\frac{11±29}{24} सोडवा. 11 मधून 29 वजा करा.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-18}{24} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$r=-\frac{3}{4}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

0 मधून -15 वजा करा.

$$12r^{2}-11r=15$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12 ने केलेला भागाकार 12 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{15}{12} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

-\frac{11}{12} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, -\frac{11}{24} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{24} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून -\frac{11}{24} वर्ग घ्या.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते \frac{121}{576} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

घटक r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. सामान्यतः, x^{2}+bx+c पूर्ण वर्ग असतो तेव्हा, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} याचे घटक पाडता येतात.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

सरलीकृत करा.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{11}{24} जोडा.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$