12x^2+32x+5=0 सोडवा

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

x साठी सोडवा

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

समूहीकृत करून वर्गमूळ वापरण्‍याची चरणे

समीकरण सोडवण्‍यासाठी, समूहीकृत करून डाव्‍या हाताच्‍या बाजूला ठेवा. अगोदर, डाव्‍या हाताची बाजू 12x^{2}+ax+bx+5 म्‍हणून पुन्‍हा लिहावी लागेल. a आणि b शोधण्‍यासाठी, सोडवण्‍यासाठी सिस्‍टम सेट करा.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

ab सकारात्‍मक असल्‍यापासून a व b मध्‍ये समान चिन्‍ह आहे. a+b सकारात्‍मक असल्‍याने, a व b दोन्‍ही सकारात्‍मक आहेत. 60 उत्‍पादन देत असलेल्‍या असे सर्व इंटिगर पेअर्स सूचीबद्ध करा.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

प्रत्‍येक पेअरची बेरीज करा.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

बेरी 32 येत असलेल्‍या पेअरचे निरसन.

$$a=2 b=30$$

\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right) प्रमाणे 12x^{2}+32x+5 पुन्हा लिहा.

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

पहिल्‍या आणि 5 मध्‍ये अन्‍य समूहात 2x घटक काढा.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

वितरण गुणधर्माचा वापर करून 6x+1 सामान्य पदाचे घटक काढा.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

समीकरण निरसन शोधण्‍यासाठी, 6x+1=0 आणि 2x+5=0 सोडवा.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

ax^{2}+bx+c=0 स्वरूपाची सर्व समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र वापरून सोडविता येतील: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. वर्गसमीकरण सूत्र दोन निरसन देते, एक, जेव्हा ± धनात्मक असते आणि दुसरे, जेव्हा ते ऋणात्मक असते.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 12, b साठी 32 आणि c साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

वर्ग 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

12 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

5 ला -48 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

1024 ते -240 जोडा.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

784 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

12 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{-32±28}{24} सोडवा. -32 ते 28 जोडा.

$$x=-\frac{4}{24}$$

4 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-4}{24} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{1}{6}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{-32±28}{24} सोडवा. -32 मधून 28 वजा करा.

$$x=-\frac{60}{24}$$

12 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{-60}{24} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x=-\frac{5}{2}$$

समीकरण आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

वर्ग पूर्ण करण्यासाठीची चरणे

यासारखी वर्गसमीकरणे वर्ग पूर्ण करून सोडविता येतात. वर्ग पूर्ण करण्यासाठी, समीकरण प्रथम x^{2}+bx=c फॉर्ममध्ये असले पाहिजे.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

5 त्याच्यामधूनच त्याला वजा केल्यास 0 उरते.

$$12x^{2}+32x=-5$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12 ने केलेला भागाकार 12 ने केलेला गुणाकार पूर्ववत करतो.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

4 एक्स्ट्रॅक्ट आणि रद्द करून \frac{32}{12} अंश निम्नतम टर्म्सला कमी करा.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

\frac{8}{3} चा भागाकार करा, x टर्म चा गुणांक, \frac{4}{3} मिळवण्यासाठी 2 द्वारे. नंतर समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{4}{3} चा वर्ग जोडा. ही पायरी समीकरणाच्या डाव्या बाजूला पूर्ण वर्ग बनवते.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

अपूर्णांकाचा अंश आणि विभाजक या दोन्हींचा वर्ग काढून \frac{4}{3} वर्ग घ्या.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{12} ते \frac{16}{9} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

घटक x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. सामान्यपणे, जेव्हा x^{2}+bx+c हा एक उत्तम वर्ग असतो, त्याचा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} घटक पाडता येतो.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा वर्गमूळ घ्या.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

सरलीकृत करा.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{3} वजा करा.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$