(x+7):(y+10)=2:3,quad4x-3(y-1)=0 सोडवा

$$( x + 7 ) : ( y + 10 ) = 2 : 3 , \quad 4 x - 3 ( y - 1 ) = 0$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे -10 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y+10\right) ने गुणाकार करा, y+10,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x+7\right)=2\left(y+10\right)$$

3 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+21=2\left(y+10\right)$$

2 ला y+10 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+21=2y+20$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+21-2y=20$$

दोन्ही बाजूंकडून 21 वजा करा.

$$3x-2y=20-21$$

-1 मिळविण्यासाठी 20 मधून 21 वजा करा.

$$3x-2y=-1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x-3y+3=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$4x-3y=-3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-2y=-1,4x-3y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-2y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$3x=2y-1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-1\right)$$

2y-1 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y-1}{3} चा विकल्प वापरा, 4x-3y=-3.

$$4\left(\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)-3y=-3$$

\frac{2y-1}{3} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{8}{3}y-\frac{4}{3}-3y=-3$$

\frac{8y}{3} ते -3y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4}{3} जोडा.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=5$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{1}{3} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{3}\times 5-\frac{1}{3}$$

5 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{3} ते \frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे -10 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y+10\right) ने गुणाकार करा, y+10,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x+7\right)=2\left(y+10\right)$$

3 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+21=2\left(y+10\right)$$

2 ला y+10 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+21=2y+20$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+21-2y=20$$

दोन्ही बाजूंकडून 21 वजा करा.

$$3x-2y=20-21$$

-1 मिळविण्यासाठी 20 मधून 21 वजा करा.

$$3x-2y=-1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x-3y+3=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$4x-3y=-3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-2y=-1,4x-3y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-1\right)-2\left(-3\right)\\4\left(-1\right)-3\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे -10 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 3\left(y+10\right) ने गुणाकार करा, y+10,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x+7\right)=2\left(y+10\right)$$

3 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+21=2\left(y+10\right)$$

2 ला y+10 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+21=2y+20$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+21-2y=20$$

दोन्ही बाजूंकडून 21 वजा करा.

$$3x-2y=20-21$$

-1 मिळविण्यासाठी 20 मधून 21 वजा करा.

$$3x-2y=-1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला y-1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x-3y+3=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$4x-3y=-3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-2y=-1,4x-3y=-3$$

3x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-1\right),3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$12x-8y=-4,12x-9y=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-8y=-4 मधून 12x-9y=-9 वजा करा.

$$12x-12x-8y+9y=-4+9$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y+9y=-4+9$$

-8y ते 9y जोडा.

$$y=-4+9$$

-4 ते 9 जोडा.

$$y=5$$

4x-3y=-3 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-3\times 5=-3$$

5 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-15=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$4x=12$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=5$$