x^2-x-1>0 सोडवा

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

x साठी सोडवा

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

असमानता सोडवण्यासाठी, डाव्या बाजूला फॅक्टर करा. वर्गसमीकरण बहूपदी ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) परिवर्तन वापरून फॅक्टर करू शकतात, ज्यात x_{1} आणि x_{2} वर्गसमीकरण समीकरणाचे निरसन आहेत ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

फॉर्म ax^{2}+bx+c=0 ची समीकरणे वर्गसमीकरण सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} वापरून सोडवली जाऊ शकतात. वर्गसमीकरण सुत्रामध्ये a साठी 1, b साठी -1 आणि c साठी -1 विकल्प आहे.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

गणना करा.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

जेव्हा ± धन असते तेव्हा आणि ± ऋण असते तेव्हा x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} समीकरण सोडवा.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

प्राप्त केलेल्या निरसनांचा वापर करून असमानता पुन्हा लिहा.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

उत्पादन धन होण्यासाठी, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} आणि x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} दोन्ही धन किंवा दोन्ही ऋण असावेत. केसचा विचार करा जेव्हा x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} आणि x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} दोन्हीही ऋण असतात.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

दोन्ही असमानतेचे समाधानकारक निरसन x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} आहे.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

केसचा विचार करा जेव्हा x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} आणि x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} दोन्हीही धन असतात.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

दोन्ही असमानतेचे समाधानकारक निरसन x>\frac{\sqrt{5}+1}{2} आहे.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

अंतिम निराकरण प्राप्त निराकरणांची युनियन आहे.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$