{l}{x-y=4}{3x-y=7} सोडवा

$$\left.\begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right\}$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=4,3x-y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+4 चा विकल्प वापरा, 3x-y=7.

$$3\left(y+4\right)-y=7$$

y+4 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3y+12-y=7$$

3y ते -y जोडा.

$$2y+12=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$2y=-5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-\frac{5}{2}$$

x=y+4 मध्ये y साठी -\frac{5}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}+4$$

4 ते -\frac{5}{2} जोडा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=4,3x-y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=4,3x-y=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x-y=4 मधून 3x-y=7 वजा करा.

$$x-3x-y+y=4-7$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x-3x=4-7$$

x ते -3x जोडा.

$$-2x=4-7$$

4 ते -7 जोडा.

$$-2x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{2}$$

3x-y=7 मध्ये x साठी \frac{3}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\times \frac{3}{2}-y=7$$

\frac{3}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}-y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$-y=\frac{5}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$