{l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x} सोडवा

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8y-x=-y$$

3x मिळविण्यासाठी 4x आणि -x एकत्र करा.

$$3x+8y=-y$$

दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$3x+8y+y=0$$

9y मिळविण्यासाठी 8y आणि y एकत्र करा.

$$3x+9y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-3x-2y=-4-x$$

दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x मिळविण्यासाठी -3x आणि x एकत्र करा.

$$-2x-2y=-4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+9y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9y वजा करा.

$$3x=-9y$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

-9y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-3y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -3y चा विकल्प वापरा, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

-3y ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-2y=-4$$

6y ते -2y जोडा.

$$4y=-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=-3y मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3\left(-1\right)$$

-1 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8y-x=-y$$

3x मिळविण्यासाठी 4x आणि -x एकत्र करा.

$$3x+8y=-y$$

दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$3x+8y+y=0$$

9y मिळविण्यासाठी 8y आणि y एकत्र करा.

$$3x+9y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-3x-2y=-4-x$$

दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x मिळविण्यासाठी -3x आणि x एकत्र करा.

$$-2x-2y=-4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8y-x=-y$$

3x मिळविण्यासाठी 4x आणि -x एकत्र करा.

$$3x+8y=-y$$

दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$3x+8y+y=0$$

9y मिळविण्यासाठी 8y आणि y एकत्र करा.

$$3x+9y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-3x-2y=-4-x$$

दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$-3x-2y+x=-4$$

-2x मिळविण्यासाठी -3x आणि x एकत्र करा.

$$-2x-2y=-4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

3x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6x-18y=0 मधून -6x-6y=-12 वजा करा.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

-6x ते 6x जोडा. -6x आणि 6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-18y+6y=12$$

-18y ते 6y जोडा.

$$-12y=12$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$y=-1$$

-2x-2y=-4 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

-1 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x+2=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$-2x=-6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-1$$