{l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29} सोडवा

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10x+2y=-78$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$10x=-2y-78$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

-2y-78 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y-39}{5} चा विकल्प वापरा, -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

\frac{-y-39}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

\frac{3y}{5} ते -2y जोडा.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{117}{5} वजा करा.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{262}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5} मध्ये y साठी \frac{262}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{262}{7} चा -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{39}{5} ते -\frac{262}{35} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{107}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

10x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -30x-6y=234 मधून -30x-20y=-290 वजा करा.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

-30x ते 30x जोडा. -30x आणि 30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y+20y=234+290$$

-6y ते 20y जोडा.

$$14y=234+290$$

234 ते 290 जोडा.

$$14y=524$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$y=\frac{262}{7}$$

-3x-2y=-29 मध्ये y साठी \frac{262}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

\frac{262}{7} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{524}{7} जोडा.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{107}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$