{c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y} सोडवा

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, x साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-8$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$27+4y=-4x+3$$

दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$27+4y+4x=3$$

दोन्ही बाजूंकडून 27 वजा करा.

$$4y+4x=3-27$$

-24 मिळविण्यासाठी 3 मधून 27 वजा करा.

$$4y+4x=-24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$8x+3y=-8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4y+4x=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$4y=-4x-24$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

-4x-24 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-x-6$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -x-6 चा विकल्प वापरा, 3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

-x-6 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x-18+8x=-8$$

-3x ते 8x जोडा.

$$5x-18=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$5x=10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=2$$

y=-x-6 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-2-6$$

-6 ते -2 जोडा.

$$y=-8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-8,x=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$27+4y=-4x+3$$

दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$27+4y+4x=3$$

दोन्ही बाजूंकडून 27 वजा करा.

$$4y+4x=3-27$$

-24 मिळविण्यासाठी 3 मधून 27 वजा करा.

$$4y+4x=-24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$8x+3y=-8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-8,x=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$27+4y=-4x+3$$

दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$27+4y+4x=3$$

दोन्ही बाजूंकडून 27 वजा करा.

$$4y+4x=3-27$$

-24 मिळविण्यासाठी 3 मधून 27 वजा करा.

$$4y+4x=-24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3y जोडा.

$$8x+3y=-8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y आणि 3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

सरलीकृत करा.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12y+12x=-72 मधून 12y+32x=-32 वजा करा.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

12y ते -12y जोडा. 12y आणि -12y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12x-32x=-72+32$$

12x ते -32x जोडा.

$$-20x=-72+32$$

-72 ते 32 जोडा.

$$-20x=-40$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने विभागा.

$$x=2$$

3y+8x=-8 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3y+8\times 2=-8$$

2 ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$3y+16=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16 वजा करा.

$$3y=-24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-8,x=2$$