{l}{x+y=64}{0.12x+0.26y=0.19} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=117.5$$

$$y=-53.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+64$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+64 चा विकल्प वापरा, 0.12x+0.26y=0.19.

$$0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

-y+64 ला 0.12 वेळा गुणाकार करा.

$$-0.12y+7.68+0.26y=0.19$$

-\frac{3y}{25} ते \frac{13y}{50} जोडा.

$$0.14y+7.68=0.19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7.68 वजा करा.

$$0.14y=-7.49$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.14 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-53.5$$

x=-y+64 मध्ये y साठी -53.5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\left(-53.5\right)+64$$

-53.5 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=53.5+64$$

64 ते 53.5 जोडा.

$$x=117.5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=117.5,y=-53.5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-0.12}&-\frac{1}{0.26-0.12}\\-\frac{0.12}{0.26-0.12}&\frac{1}{0.26-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{50}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{50}{7}\times 0.19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{50}{7}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}117.5\\-53.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=117.5,y=-53.5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

x आणि \frac{3x}{25} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 64,0.12x+0.26y=0.19$$

सरलीकृत करा.

$$0.12x+0.12y=7.68,0.12x+0.26y=0.19$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.12x+0.12y=7.68 मधून 0.12x+0.26y=0.19 वजा करा.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

\frac{3x}{25} ते -\frac{3x}{25} जोडा. \frac{3x}{25} आणि -\frac{3x}{25} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

\frac{3y}{25} ते -\frac{13y}{50} जोडा.

$$-0.14y=7.68-0.19$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 7.68 ते -0.19 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-0.14y=7.49$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -0.14 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-53.5$$

0.12x+0.26y=0.19 मध्ये y साठी -53.5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.12x+0.26\left(-53.5\right)=0.19$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -53.5 चा 0.26 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$0.12x-13.91=0.19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 13.91 जोडा.

$$0.12x=14.1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.12 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=117.5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=117.5,y=-53.5$$