{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 1+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 मिळविण्यासाठी 3 आणि 1 जोडा.

$$x+2y=4+3y$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+2y-3y=4$$

-y मिळविण्यासाठी 2y आणि -3y एकत्र करा.

$$x-y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 1-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8-y=2-2y+3x$$

दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$8-y+2y=2+3x$$

y मिळविण्यासाठी -y आणि 2y एकत्र करा.

$$8+y=2+3x$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$8+y-3x=2$$

दोन्ही बाजूंकडून 8 वजा करा.

$$y-3x=2-8$$

-6 मिळविण्यासाठी 2 मधून 8 वजा करा.

$$y-3x=-6$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$x=y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+4 चा विकल्प वापरा, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

y+4 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y-12+y=-6$$

-3y ते y जोडा.

$$-2y-12=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$-2y=6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-3$$

x=y+4 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3+4$$

4 ते -3 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 1+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 मिळविण्यासाठी 3 आणि 1 जोडा.

$$x+2y=4+3y$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+2y-3y=4$$

-y मिळविण्यासाठी 2y आणि -3y एकत्र करा.

$$x-y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 1-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8-y=2-2y+3x$$

दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$8-y+2y=2+3x$$

y मिळविण्यासाठी -y आणि 2y एकत्र करा.

$$8+y=2+3x$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$8+y-3x=2$$

दोन्ही बाजूंकडून 8 वजा करा.

$$y-3x=2-8$$

-6 मिळविण्यासाठी 2 मधून 8 वजा करा.

$$y-3x=-6$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 1+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x+2y=3+3y+1$$

4 मिळविण्यासाठी 3 आणि 1 जोडा.

$$x+2y=4+3y$$

दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x+2y-3y=4$$

-y मिळविण्यासाठी 2y आणि -3y एकत्र करा.

$$x-y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 1-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$8-y=2-2y+3x$$

दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$8-y+2y=2+3x$$

y मिळविण्यासाठी -y आणि 2y एकत्र करा.

$$8+y=2+3x$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$8+y-3x=2$$

दोन्ही बाजूंकडून 8 वजा करा.

$$y-3x=2-8$$

-6 मिळविण्यासाठी 2 मधून 8 वजा करा.

$$y-3x=-6$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

सरलीकृत करा.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x+3y=-12 मधून -3x+y=-6 वजा करा.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-y=-12+6$$

3y ते -y जोडा.

$$2y=-12+6$$

-12 ते 6 जोडा.

$$2y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-3$$

-3x+y=-6 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x-3=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$-3x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-3$$