{l}{8x-5y=19}{6x+11y=29} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x - 5 y = 19 }\\{ 6 x + 11 y = 29 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$8x-5y=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$8x=5y+19$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+19\right)$$

5y+19 ला \frac{1}{8} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y+19}{8} चा विकल्प वापरा, 6x+11y=29.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}\right)+11y=29$$

\frac{5y+19}{8} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{4}y+\frac{57}{4}+11y=29$$

\frac{15y}{4} ते 11y जोडा.

$$\frac{59}{4}y+\frac{57}{4}=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{57}{4} वजा करा.

$$\frac{59}{4}y=\frac{59}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{59}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{19}{8} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5+19}{8}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{19}{8} ते \frac{5}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{118}&\frac{5}{118}\\-\frac{3}{59}&\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{118}\times 19+\frac{5}{118}\times 29\\-\frac{3}{59}\times 19+\frac{4}{59}\times 29\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

8x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने गुणाकार करा.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 19,8\times 6x+8\times 11y=8\times 29$$

सरलीकृत करा.

$$48x-30y=114,48x+88y=232$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 48x-30y=114 मधून 48x+88y=232 वजा करा.

$$48x-48x-30y-88y=114-232$$

48x ते -48x जोडा. 48x आणि -48x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-30y-88y=114-232$$

-30y ते -88y जोडा.

$$-118y=114-232$$

114 ते -232 जोडा.

$$-118y=-118$$

दोन्ही बाजूंना -118 ने विभागा.

$$y=1$$

6x+11y=29 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+11=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11 वजा करा.

$$6x=18$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=1$$