{l}{5x+4y=3}{x=2y-15} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{27}{7} = -3\frac{6}{7} \approx -3.857142857$$

$$y = \frac{39}{7} = 5\frac{4}{7} \approx 5.571428571$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=-15$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+4y=3,x-2y=-15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+4y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$5x=-4y+3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

-4y+3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4y+3}{5} चा विकल्प वापरा, x-2y=-15.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{3}{5}-2y=-15$$

-\frac{4y}{5} ते -2y जोडा.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{3}{5}=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{5} वजा करा.

$$-\frac{14}{5}y=-\frac{78}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{14}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{39}{7}$$

x=-\frac{4}{5}y+\frac{3}{5} मध्ये y साठी \frac{39}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{5}\times \frac{39}{7}+\frac{3}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{39}{7} चा -\frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{156}{35}+\frac{3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{5} ते -\frac{156}{35} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{27}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{27}{7},y=\frac{39}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=-15$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+4y=3,x-2y=-15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-4}&\frac{5}{5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 3+\frac{2}{7}\left(-15\right)\\\frac{1}{14}\times 3-\frac{5}{14}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{7}\\\frac{39}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{27}{7},y=\frac{39}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=-15$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+4y=3,x-2y=-15$$

5x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$5x+4y=3,5x+5\left(-2\right)y=5\left(-15\right)$$

सरलीकृत करा.

$$5x+4y=3,5x-10y=-75$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+4y=3 मधून 5x-10y=-75 वजा करा.

$$5x-5x+4y+10y=3+75$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y+10y=3+75$$

4y ते 10y जोडा.

$$14y=3+75$$

3 ते 75 जोडा.

$$14y=78$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$y=\frac{39}{7}$$

x-2y=-15 मध्ये y साठी \frac{39}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-2\times \frac{39}{7}=-15$$

\frac{39}{7} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{78}{7}=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{78}{7} जोडा.

$$x=-\frac{27}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{27}{7},y=\frac{39}{7}$$