{l}{4m+10n=83}{3m+4n=43} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 m + 10 n = 83 }\\{ 3 m + 4 n = 43 }\end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m=7$$

$$n = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4m+10n=83,3m+4n=43$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4m+10n=83$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10n वजा करा.

$$4m=-10n+83$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{4}\left(-10n+83\right)$$

-10n+83 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$m=-\frac{5}{2}n+\frac{83}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी -\frac{5n}{2}+\frac{83}{4} चा विकल्प वापरा, 3m+4n=43.

$$3\left(-\frac{5}{2}n+\frac{83}{4}\right)+4n=43$$

-\frac{5n}{2}+\frac{83}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{249}{4}+4n=43$$

-\frac{15n}{2} ते 4n जोडा.

$$-\frac{7}{2}n+\frac{249}{4}=43$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{249}{4} वजा करा.

$$-\frac{7}{2}n=-\frac{77}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=\frac{11}{2}$$

m=-\frac{5}{2}n+\frac{83}{4} मध्ये n साठी \frac{11}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=-\frac{5}{2}\times \frac{11}{2}+\frac{83}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{2} चा -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$m=\frac{-55+83}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{83}{4} ते -\frac{55}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$m=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=7,n=\frac{11}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4m+10n=83,3m+4n=43$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-10\times 3}&-\frac{10}{4\times 4-10\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-10\times 3}&\frac{4}{4\times 4-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 83+\frac{5}{7}\times 43\\\frac{3}{14}\times 83-\frac{2}{7}\times 43\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=7,n=\frac{11}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4m+10n=83,3m+4n=43$$

4m आणि 3m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4m+3\times 10n=3\times 83,4\times 3m+4\times 4n=4\times 43$$

सरलीकृत करा.

$$12m+30n=249,12m+16n=172$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12m+30n=249 मधून 12m+16n=172 वजा करा.

$$12m-12m+30n-16n=249-172$$

12m ते -12m जोडा. 12m आणि -12m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$30n-16n=249-172$$

30n ते -16n जोडा.

$$14n=249-172$$

249 ते -172 जोडा.

$$14n=77$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$n=\frac{11}{2}$$

3m+4n=43 मध्ये n साठी \frac{11}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$3m+4\times \frac{11}{2}=43$$

\frac{11}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3m+22=43$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 22 वजा करा.

$$3m=21$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$m=7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=7,n=\frac{11}{2}$$