{l}{10s+7t=41}{8s+3t=12} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 s + 7 t = 41 }\\{ 8 s + 3 t = 12 }\end{array} \right.$$

s, t साठी सोडवा

$$t=8$$

$$s = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$10s+7t=41,8s+3t=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला s विलग करून, s साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$10s+7t=41$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7t वजा करा.

$$10s=-7t+41$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$s=\frac{1}{10}\left(-7t+41\right)$$

-7t+41 ला \frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$s=-\frac{7}{10}t+\frac{41}{10}$$

इतर समीकरणामध्ये s साठी \frac{-7t+41}{10} चा विकल्प वापरा, 8s+3t=12.

$$8\left(-\frac{7}{10}t+\frac{41}{10}\right)+3t=12$$

\frac{-7t+41}{10} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{28}{5}t+\frac{164}{5}+3t=12$$

-\frac{28t}{5} ते 3t जोडा.

$$-\frac{13}{5}t+\frac{164}{5}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{164}{5} वजा करा.

$$-\frac{13}{5}t=-\frac{104}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{13}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$t=8$$

s=-\frac{7}{10}t+\frac{41}{10} मध्ये t साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण s साठी थेट सोडवू शकता.

$$s=-\frac{7}{10}\times 8+\frac{41}{10}$$

8 ला -\frac{7}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$s=-\frac{28}{5}+\frac{41}{10}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{41}{10} ते -\frac{28}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$s=-\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$s=-\frac{3}{2},t=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$10s+7t=41,8s+3t=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{10\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{10\times 3-7\times 8}&\frac{10}{10\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{26}&\frac{7}{26}\\\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{26}\times 41+\frac{7}{26}\times 12\\\frac{4}{13}\times 41-\frac{5}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे s आणि t घटक बाहेर काढा.

$$s=-\frac{3}{2},t=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$10s+7t=41,8s+3t=12$$

10s आणि 8s समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 10 ने गुणाकार करा.

$$8\times 10s+8\times 7t=8\times 41,10\times 8s+10\times 3t=10\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$80s+56t=328,80s+30t=120$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 80s+56t=328 मधून 80s+30t=120 वजा करा.

$$80s-80s+56t-30t=328-120$$

80s ते -80s जोडा. 80s आणि -80s रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$56t-30t=328-120$$

56t ते -30t जोडा.

$$26t=328-120$$

328 ते -120 जोडा.

$$26t=208$$

दोन्ही बाजूंना 26 ने विभागा.

$$t=8$$

8s+3t=12 मध्ये t साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण s साठी थेट सोडवू शकता.

$$8s+3\times 8=12$$

8 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$8s+24=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$8s=-12$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$s=-\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$s=-\frac{3}{2},t=8$$