{l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5x+y=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$-5x=-y-11$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

-y-11 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{11+y}{5} चा विकल्प वापरा, 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

\frac{11+y}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

\frac{4y}{5} ते -6y जोडा.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{44}{5} वजा करा.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{26}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5} मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

-1 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{5} ते -\frac{1}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

-5x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

सरलीकृत करा.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -20x+4y=-44 मधून -20x+30y=-70 वजा करा.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

-20x ते 20x जोडा. -20x आणि 20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-30y=-44+70$$

4y ते -30y जोडा.

$$-26y=-44+70$$

-44 ते 70 जोडा.

$$-26y=26$$

दोन्ही बाजूंना -26 ने विभागा.

$$y=-1$$

4x-6y=14 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

-1 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+6=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$4x=8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-1$$