{l}{x/2+2y/3=-1}{x-y/3=3} सोडवा

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = - 1 }\\{ x - \frac { y } { 3 } = 3 }\end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+2\times 2y=-6$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+4y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-y=9$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+4y=-6,3x-y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+4y=-6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$3x=-4y-6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

-4y-6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{3}y-2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{4y}{3}-2 चा विकल्प वापरा, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{4}{3}y-2\right)-y=9$$

-\frac{4y}{3}-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y-6-y=9$$

-4y ते -y जोडा.

$$-5y-6=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-5y=15$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=-3$$

x=-\frac{4}{3}y-2 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)-2$$

-3 ला -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=4-2$$

-2 ते 4 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+2\times 2y=-6$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+4y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-y=9$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+4y=-6,3x-y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4\times 3}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-4\times 3}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-6\right)+\frac{4}{15}\times 9\\\frac{1}{5}\left(-6\right)-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+2\times 2y=-6$$

4 मिळविण्यासाठी 2 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+4y=-6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-y=9$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+4y=-6,3x-y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+4y=-6 मधून 3x-y=9 वजा करा.

$$3x-3x+4y+y=-6-9$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y+y=-6-9$$

4y ते y जोडा.

$$5y=-6-9$$

-6 ते -9 जोडा.

$$5y=-15$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-3$$

3x-y=9 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-\left(-3\right)=9$$

-3 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+3=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$3x=6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-3$$