{r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+2y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$7x=-2y+24$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

-2y+24 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+24}{7} चा विकल्प वापरा, -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

\frac{-2y+24}{7} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

\frac{16y}{7} ते 2y जोडा.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{192}{7} जोडा.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{30}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} मध्ये y साठी -\frac{3}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{3}{5} चा -\frac{2}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{24}{7} ते \frac{6}{35} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{18}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x+2y=24 मधून -8x+2y=-30 वजा करा.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

2y ते -2y जोडा. 2y आणि -2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7x+8x=24+30$$

7x ते 8x जोडा.

$$15x=24+30$$

24 ते 30 जोडा.

$$15x=54$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$x=\frac{18}{5}$$

-8x+2y=-30 मध्ये x साठी \frac{18}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

\frac{18}{5} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{144}{5} जोडा.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$