{r}{5y+x=44}{y-x=4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5y+x=44,y-x=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5y+x=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून x वजा करा.

$$5y=-x+44$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

-x+44 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-x+44}{5} चा विकल्प वापरा, y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

-\frac{x}{5} ते -x जोडा.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{44}{5} वजा करा.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{6}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=4$$

y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5} मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

4 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{44}{5} ते -\frac{4}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=8,x=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5y+x=44,y-x=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=8,x=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5y+x=44,y-x=4$$

5y आणि y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5y+x=44 मधून 5y-5x=20 वजा करा.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

5y ते -5y जोडा. 5y आणि -5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x+5x=44-20$$

x ते 5x जोडा.

$$6x=44-20$$

44 ते -20 जोडा.

$$6x=24$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=4$$

y-x=4 मध्ये x साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-4=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$y=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=8,x=4$$