{r}{5x-2y=-1}{x+4y=35} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 2 y = - 1 } \\ { x + 4 y = 35 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-2y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$5x=2y-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y-1\right)$$

2y-1 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y-1}{5} चा विकल्प वापरा, x+4y=35.

$$\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}+4y=35$$

\frac{2y}{5} ते 4y जोडा.

$$\frac{22}{5}y-\frac{1}{5}=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{1}{5} जोडा.

$$\frac{22}{5}y=\frac{176}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{22}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=8$$

x=\frac{2}{5}y-\frac{1}{5} मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{5}\times 8-\frac{1}{5}$$

8 ला \frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{16-1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{5} ते \frac{16}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 4-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-1\right)+\frac{1}{11}\times 35\\-\frac{1}{22}\left(-1\right)+\frac{5}{22}\times 35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-2y=-1,x+4y=35$$

5x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$5x-2y=-1,5x+5\times 4y=5\times 35$$

सरलीकृत करा.

$$5x-2y=-1,5x+20y=175$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x-2y=-1 मधून 5x+20y=175 वजा करा.

$$5x-5x-2y-20y=-1-175$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-20y=-1-175$$

-2y ते -20y जोडा.

$$-22y=-1-175$$

-1 ते -175 जोडा.

$$-22y=-176$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=8$$

x+4y=35 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+4\times 8=35$$

8 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$x+32=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 32 वजा करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=8$$