{r}{4x-y=1}{3x+y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$4x=y+1$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

y+1 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{1+y}{4} चा विकल्प वापरा, 3x+y=9.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

\frac{1+y}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

\frac{3y}{4} ते y जोडा.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{4} वजा करा.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{33}{7}$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4} मध्ये y साठी \frac{33}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{33}{7} चा \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{4} ते \frac{33}{28} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{10}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-3y=3 मधून 12x+4y=36 वजा करा.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y-4y=3-36$$

-3y ते -4y जोडा.

$$-7y=3-36$$

3 ते -36 जोडा.

$$-7y=-33$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=\frac{33}{7}$$

3x+y=9 मध्ये y साठी \frac{33}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{33}{7} वजा करा.

$$3x=\frac{30}{7}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{10}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$