{r}{4x-2y=5}{-3x+5y=-2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-2y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$4x=2y+5$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

2y+5 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+\frac{5}{4} चा विकल्प वापरा, -3x+5y=-2.

$$-3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+5y=-2$$

\frac{y}{2}+\frac{5}{4} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{15}{4}+5y=-2$$

-\frac{3y}{2} ते 5y जोडा.

$$\frac{7}{2}y-\frac{15}{4}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15}{4} जोडा.

$$\frac{7}{2}y=\frac{7}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1}{2} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{1+5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते \frac{1}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\times 5+\frac{1}{7}\left(-2\right)\\\frac{3}{14}\times 5+\frac{2}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-2y=5,-3x+5y=-2$$

4x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 4x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,4\left(-3\right)x+4\times 5y=4\left(-2\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-12x+6y=-15,-12x+20y=-8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12x+6y=-15 मधून -12x+20y=-8 वजा करा.

$$-12x+12x+6y-20y=-15+8$$

-12x ते 12x जोडा. -12x आणि 12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-20y=-15+8$$

6y ते -20y जोडा.

$$-14y=-15+8$$

-15 ते 8 जोडा.

$$-14y=-7$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

-3x+5y=-2 मध्ये y साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+5\times \frac{1}{2}=-2$$

\frac{1}{2} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x+\frac{5}{2}=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{2} वजा करा.

$$-3x=-\frac{9}{2}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$$