{r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-2y+4=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$4x-2y=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$4x=2y-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

-4+2y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}-1 चा विकल्प वापरा, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

\frac{y}{2}-1 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+4+3y-3=0$$

-2y ते 3y जोडा.

$$y+4-3=0$$

4 ते -3 जोडा.

$$y+1=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y-1 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

-1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

-1 ते -\frac{1}{2} जोडा.

$$x=-\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

4x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

सरलीकृत करा.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -16x+8y-16=0 मधून -16x+12y-12=0 वजा करा.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

-16x ते 16x जोडा. -16x आणि 16x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y-12y-16+12=0$$

8y ते -12y जोडा.

$$-4y-16+12=0$$

-16 ते 12 जोडा.

$$-4y-4=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-4y=4$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=-1$$

-4x+3y-3=0 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

-1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-4x-3-3=0$$

-3 ते -3 जोडा.

$$-4x-6=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-4x=6$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$