{r}{4x+3y=17}{3x-4y+6=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 4 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+3y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$4x=-3y+17$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+17\right)$$

-3y+17 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+17}{4} चा विकल्प वापरा, 3x-4y+6=0.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}\right)-4y+6=0$$

\frac{-3y+17}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{51}{4}-4y+6=0$$

-\frac{9y}{4} ते -4y जोडा.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{51}{4}+6=0$$

\frac{51}{4} ते 6 जोडा.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{75}{4}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{75}{4} वजा करा.

$$-\frac{25}{4}y=-\frac{75}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{25}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{17}{4}$$

3 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{17}{4} ते -\frac{9}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 17+\frac{3}{25}\left(-6\right)\\\frac{3}{25}\times 17-\frac{4}{25}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 17,4\times 3x+4\left(-4\right)y+4\times 6=0$$

सरलीकृत करा.

$$12x+9y=51,12x-16y+24=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+9y=51 मधून 12x-16y+24=0 वजा करा.

$$12x-12x+9y+16y-24=51$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y+16y-24=51$$

9y ते 16y जोडा.

$$25y-24=51$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 24 जोडा.

$$25y=75$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$y=3$$

3x-4y+6=0 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-4\times 3+6=0$$

3 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-12+6=0$$

-12 ते 6 जोडा.

$$3x-6=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$3x=6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$