{r}{2x+4y=56}{x+y=20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 4 y = 56 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=12$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+4y=56$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$2x=-4y+56$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+56\right)$$

-4y+56 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y+28$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y+28 चा विकल्प वापरा, x+y=20.

$$-2y+28+y=20$$

-2y ते y जोडा.

$$-y+28=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$-y=-8$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=8$$

x=-2y+28 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\times 8+28$$

8 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-16+28$$

28 ते -16 जोडा.

$$x=12$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=12,y=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 56+2\times 20\\\frac{1}{2}\times 56-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=12,y=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+4y=56,2x+2y=2\times 20$$

सरलीकृत करा.

$$2x+4y=56,2x+2y=40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+4y=56 मधून 2x+2y=40 वजा करा.

$$2x-2x+4y-2y=56-40$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-2y=56-40$$

4y ते -2y जोडा.

$$2y=56-40$$

56 ते -40 जोडा.

$$2y=16$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=8$$

x+y=20 मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+8=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$x=12$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=12,y=8$$