{r}{2x+3y=10}{-3x+y=18} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+3y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2x=-3y+10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{2}+5 चा विकल्प वापरा, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

-\frac{3y}{2}+5 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

\frac{9y}{2} ते y जोडा.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$\frac{11}{2}y=33$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+5 मध्ये y साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

6 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-9+5$$

5 ते -9 जोडा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-4,y=6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

2x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

सरलीकृत करा.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6x-9y=-30 मधून -6x+2y=36 वजा करा.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

-6x ते 6x जोडा. -6x आणि 6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y-2y=-30-36$$

-9y ते -2y जोडा.

$$-11y=-30-36$$

-30 ते -36 जोडा.

$$-11y=-66$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$y=6$$

-3x+y=18 मध्ये y साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+6=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-3x=12$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-4,y=6$$