{r}{2(x+2y)+3(3x-y)=38}{4(3x+2y)-3(x+5y)=-8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 3 x - y ) = 38 } \\ { 4 ( 3 x + 2 y ) - 3 ( x + 5 y ) = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x मिळविण्यासाठी 2x आणि 9x एकत्र करा.

$$11x+4y-3y=38$$

y मिळविण्यासाठी 4y आणि -3y एकत्र करा.

$$11x+y=38$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला 3x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3 ला x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x मिळविण्यासाठी 12x आणि -3x एकत्र करा.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y मिळविण्यासाठी 8y आणि -15y एकत्र करा.

$$9x-7y=-8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$11x+y=38$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$11x=-y+38$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{11}\left(-y+38\right)$$

-y+38 ला \frac{1}{11} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+38}{11} चा विकल्प वापरा, 9x-7y=-8.

$$9\left(-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}\right)-7y=-8$$

\frac{-y+38}{11} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{11}y+\frac{342}{11}-7y=-8$$

-\frac{9y}{11} ते -7y जोडा.

$$-\frac{86}{11}y+\frac{342}{11}=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{342}{11} वजा करा.

$$-\frac{86}{11}y=-\frac{430}{11}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{86}{11} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{11}\times 5+\frac{38}{11}$$

5 ला -\frac{1}{11} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-5+38}{11}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{38}{11} ते -\frac{5}{11} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x मिळविण्यासाठी 2x आणि 9x एकत्र करा.

$$11x+4y-3y=38$$

y मिळविण्यासाठी 4y आणि -3y एकत्र करा.

$$11x+y=38$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला 3x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3 ला x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x मिळविण्यासाठी 12x आणि -3x एकत्र करा.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y मिळविण्यासाठी 8y आणि -15y एकत्र करा.

$$9x-7y=-8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11\left(-7\right)-9}&-\frac{1}{11\left(-7\right)-9}\\-\frac{9}{11\left(-7\right)-9}&\frac{11}{11\left(-7\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}&\frac{1}{86}\\\frac{9}{86}&-\frac{11}{86}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}\times 38+\frac{1}{86}\left(-8\right)\\\frac{9}{86}\times 38-\frac{11}{86}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

11x मिळविण्यासाठी 2x आणि 9x एकत्र करा.

$$11x+4y-3y=38$$

y मिळविण्यासाठी 4y आणि -3y एकत्र करा.

$$11x+y=38$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला 3x+2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3 ला x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

9x मिळविण्यासाठी 12x आणि -3x एकत्र करा.

$$9x+8y-15y=-8$$

-7y मिळविण्यासाठी 8y आणि -15y एकत्र करा.

$$9x-7y=-8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

11x आणि 9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 11 ने गुणाकार करा.

$$9\times 11x+9y=9\times 38,11\times 9x+11\left(-7\right)y=11\left(-8\right)$$

सरलीकृत करा.

$$99x+9y=342,99x-77y=-88$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 99x+9y=342 मधून 99x-77y=-88 वजा करा.

$$99x-99x+9y+77y=342+88$$

99x ते -99x जोडा. 99x आणि -99x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y+77y=342+88$$

9y ते 77y जोडा.

$$86y=342+88$$

342 ते 88 जोडा.

$$86y=430$$

दोन्ही बाजूंना 86 ने विभागा.

$$y=5$$

9x-7y=-8 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$9x-7\times 5=-8$$

5 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$9x-35=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 35 जोडा.

$$9x=27$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=5$$