{r}{1.2x+3y=8}{6x-3y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { 1.2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2.5$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$1.2x+3y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$1.2x=-3y+8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 1.2 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{5}{6}\left(-3y+8\right)$$

-3y+8 ला \frac{5}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2.5y+\frac{20}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} चा विकल्प वापरा, 6x-3y=10.

$$6\left(-2.5y+\frac{20}{3}\right)-3y=10$$

-\frac{5y}{2}+\frac{20}{3} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-15y+40-3y=10$$

-15y ते -3y जोडा.

$$-18y+40=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40 वजा करा.

$$-18y=-30$$

दोन्ही बाजूंना -18 ने विभागा.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-2.5y+\frac{20}{3} मध्ये y साठी \frac{5}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2.5\times \frac{5}{3}+\frac{20}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{3} चा -2.5 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{25}{6}+\frac{20}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{20}{3} ते -\frac{25}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{1.2}{1.2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}&\frac{5}{36}\\\frac{5}{18}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{36}\times 8+\frac{5}{36}\times 10\\\frac{5}{18}\times 8-\frac{1}{18}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2.5,y=\frac{5}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$1.2x+3y=8,6x-3y=10$$

\frac{6x}{5} आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1.2 ने गुणाकार करा.

$$6\times 1.2x+6\times 3y=6\times 8,1.2\times 6x+1.2\left(-3\right)y=1.2\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$7.2x+18y=48,7.2x-3.6y=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7.2x+18y=48 मधून 7.2x-3.6y=12 वजा करा.

$$7.2x-7.2x+18y+3.6y=48-12$$

\frac{36x}{5} ते -\frac{36x}{5} जोडा. \frac{36x}{5} आणि -\frac{36x}{5} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$18y+3.6y=48-12$$

18y ते \frac{18y}{5} जोडा.

$$21.6y=48-12$$

48 ते -12 जोडा.

$$21.6y=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 21.6 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{5}{3}$$

6x-3y=10 मध्ये y साठी \frac{5}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-3\times \frac{5}{3}=10$$

\frac{5}{3} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-5=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$6x=15$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{2},y=\frac{5}{3}$$