{r}{-x+3y=4}{-7x+12y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { - x + 3 y = 4 } \\ { - 7 x + 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x+3y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$-x=-3y+4$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(-3y+4\right)$$

-3y+4 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=3y-4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 3y-4 चा विकल्प वापरा, -7x+12y=12.

$$-7\left(3y-4\right)+12y=12$$

3y-4 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$-21y+28+12y=12$$

-21y ते 12y जोडा.

$$-9y+28=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$-9y=-16$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$y=\frac{16}{9}$$

x=3y-4 मध्ये y साठी \frac{16}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\times \frac{16}{9}-4$$

\frac{16}{9} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{16}{3}-4$$

-4 ते \frac{16}{3} जोडा.

$$x=\frac{4}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{1}{-12-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\\frac{7}{9}\times 4-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{16}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

-x आणि -7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$-7\left(-1\right)x-7\times 3y=-7\times 4,-\left(-7\right)x-12y=-12$$

सरलीकृत करा.

$$7x-21y=-28,7x-12y=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x-21y=-28 मधून 7x-12y=-12 वजा करा.

$$7x-7x-21y+12y=-28+12$$

7x ते -7x जोडा. 7x आणि -7x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-21y+12y=-28+12$$

-21y ते 12y जोडा.

$$-9y=-28+12$$

-28 ते 12 जोडा.

$$-9y=-16$$

दोन्ही बाजूंना -9 ने विभागा.

$$y=\frac{16}{9}$$

-7x+12y=12 मध्ये y साठी \frac{16}{9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7x+12\times \frac{16}{9}=12$$

\frac{16}{9} ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$-7x+\frac{64}{3}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{64}{3} वजा करा.

$$-7x=-\frac{28}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=\frac{4}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$