{r}{-5x+3y=-9}{3x+3y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { - 5 x + 3 y = - 9 } \\ { 3 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

$$y=-\frac{1}{12}\approx -0.083333333$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5x+3y=-9,3x+3y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5x+3y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$-5x=-3y-9$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-9\right)$$

-3y-9 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{9+3y}{5} चा विकल्प वापरा, 3x+3y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}\right)+3y=5$$

\frac{9+3y}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{5}y+\frac{27}{5}+3y=5$$

\frac{9y}{5} ते 3y जोडा.

$$\frac{24}{5}y+\frac{27}{5}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{27}{5} वजा करा.

$$\frac{24}{5}y=-\frac{2}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{24}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{1}{12}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{9}{5} मध्ये y साठी -\frac{1}{12} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{1}{12}\right)+\frac{9}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{1}{12} चा \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{1}{20}+\frac{9}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{5} ते -\frac{1}{20} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{7}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{12}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5x+3y=-9,3x+3y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{-5\times 3-3\times 3}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\left(-9\right)+\frac{1}{8}\times 5\\\frac{1}{8}\left(-9\right)+\frac{5}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{12}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5x+3y=-9,3x+3y=5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -5x+3y=-9 मधून 3x+3y=5 वजा करा.

$$-5x-3x+3y-3y=-9-5$$

3y ते -3y जोडा. 3y आणि -3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5x-3x=-9-5$$

-5x ते -3x जोडा.

$$-8x=-9-5$$

-9 ते -5 जोडा.

$$-8x=-14$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=\frac{7}{4}$$

3x+3y=5 मध्ये x साठी \frac{7}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3\times \frac{7}{4}+3y=5$$

\frac{7}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{21}{4}+3y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{21}{4} वजा करा.

$$3y=-\frac{1}{4}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{12}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{7}{4},y=-\frac{1}{12}$$