{r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2-3y=-9$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 मिळविण्यासाठी -9 मधून 2 वजा करा.

$$2x-3y=-11$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+5-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x मिळविण्यासाठी 3x आणि 3x एकत्र करा.

$$6x+15-3y=12$$

दोन्ही बाजूंकडून 15 वजा करा.

$$6x-3y=12-15$$

-3 मिळविण्यासाठी 12 मधून 15 वजा करा.

$$6x-3y=-3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y-11$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

3y-11 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y-11}{2} चा विकल्प वापरा, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

\frac{3y-11}{2} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$9y-33-3y=-3$$

9y ते -3y जोडा.

$$6y-33=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 33 जोडा.

$$6y=30$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=5$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

5 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{11}{2} ते \frac{15}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2-3y=-9$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 मिळविण्यासाठी -9 मधून 2 वजा करा.

$$2x-3y=-11$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+5-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x मिळविण्यासाठी 3x आणि 3x एकत्र करा.

$$6x+15-3y=12$$

दोन्ही बाजूंकडून 15 वजा करा.

$$6x-3y=12-15$$

-3 मिळविण्यासाठी 12 मधून 15 वजा करा.

$$6x-3y=-3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2-3y=-9$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$2x-3y=-9-2$$

-11 मिळविण्यासाठी -9 मधून 2 वजा करा.

$$2x-3y=-11$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+5-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+15-3y+3x=12$$

6x मिळविण्यासाठी 3x आणि 3x एकत्र करा.

$$6x+15-3y=12$$

दोन्ही बाजूंकडून 15 वजा करा.

$$6x-3y=12-15$$

-3 मिळविण्यासाठी 12 मधून 15 वजा करा.

$$6x-3y=-3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x-3y=-11 मधून 6x-3y=-3 वजा करा.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

-3y ते 3y जोडा. -3y आणि 3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x-6x=-11+3$$

2x ते -6x जोडा.

$$-4x=-11+3$$

-11 ते 3 जोडा.

$$-4x=-8$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=2$$

6x-3y=-3 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$6\times 2-3y=-3$$

2 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$12-3y=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$-3y=-15$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=5$$