{l}{y=x+5}{y=-4x} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 5 } \\ { y = - 4 x } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$y+4x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-x=5,y+4x=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-x=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस x जोडा.

$$y=x+5$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी x+5 चा विकल्प वापरा, y+4x=0.

$$x+5+4x=0$$

x ते 4x जोडा.

$$5x+5=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$5x=-5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=-1$$

y=x+5 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-1+5$$

5 ते -1 जोडा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$y+4x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-x=5,y+4x=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-1\right)}&\frac{1}{4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=5$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$y+4x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-x=5,y+4x=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-x=5 मधून y+4x=0 वजा करा.

$$y-y-x-4x=5$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-x-4x=5$$

-x ते -4x जोडा.

$$-5x=5$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-1$$

y+4x=0 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+4\left(-1\right)=0$$

-1 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$y-4=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=-1$$