{l}{y=7.50p+45}{y=-0.60p+300} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 7.50 p + 45 } \\ { y = - 0.60 p + 300 } \end{array} \right.$$

y, p साठी सोडवा

$$y = \frac{2530}{9} = 281\frac{1}{9} \approx 281.111111111$$

$$p = \frac{850}{27} = 31\frac{13}{27} \approx 31.481481481$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7.5p वजा करा.

$$y-7.5p=45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 0.6p जोडा.

$$y+0.6p=300$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-7.5p=45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15p}{2} जोडा.

$$y=7.5p+45$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{15p}{2}+45 चा विकल्प वापरा, y+0.6p=300.

$$7.5p+45+0.6p=300$$

\frac{15p}{2} ते \frac{3p}{5} जोडा.

$$8.1p+45=300$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 45 वजा करा.

$$8.1p=255$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 8.1 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$p=\frac{850}{27}$$

y=7.5p+45 मध्ये p साठी \frac{850}{27} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=7.5\times \frac{850}{27}+45$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{850}{27} चा 7.5 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{2125}{9}+45$$

45 ते \frac{2125}{9} जोडा.

$$y=\frac{2530}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7.5p वजा करा.

$$y-7.5p=45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 0.6p जोडा.

$$y+0.6p=300$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7.5\\1&0.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.6}{0.6-\left(-7.5\right)}&-\frac{-7.5}{0.6-\left(-7.5\right)}\\-\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}&\frac{1}{0.6-\left(-7.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{25}{27}\\-\frac{10}{81}&\frac{10}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\300\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 45+\frac{25}{27}\times 300\\-\frac{10}{81}\times 45+\frac{10}{81}\times 300\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\p\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2530}{9}\\\frac{850}{27}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि p घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7.5p वजा करा.

$$y-7.5p=45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 0.6p जोडा.

$$y+0.6p=300$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-7.5p=45,y+0.6p=300$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-7.5p=45 मधून y+0.6p=300 वजा करा.

$$y-y-7.5p-0.6p=45-300$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7.5p-0.6p=45-300$$

-\frac{15p}{2} ते -\frac{3p}{5} जोडा.

$$-8.1p=45-300$$

45 ते -300 जोडा.

$$-8.1p=-255$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -8.1 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$p=\frac{850}{27}$$

y+0.6p=300 मध्ये p साठी \frac{850}{27} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+0.6\times \frac{850}{27}=300$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{850}{27} चा 0.6 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y+\frac{170}{9}=300$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{170}{9} वजा करा.

$$y=\frac{2530}{9}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{2530}{9},p=\frac{850}{27}$$