{l}{y=5x-23}{y=3x-1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x - 23 } \\ { y = 3 x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=11$$

$$y=32$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=-23$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-5x=-23,y-3x=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-5x=-23$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5x जोडा.

$$y=5x-23$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 5x-23 चा विकल्प वापरा, y-3x=-1.

$$5x-23-3x=-1$$

5x ते -3x जोडा.

$$2x-23=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 23 जोडा.

$$2x=22$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=11$$

y=5x-23 मध्ये x साठी 11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=5\times 11-23$$

11 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$y=55-23$$

-23 ते 55 जोडा.

$$y=32$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=32,x=11$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=-23$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-5x=-23,y-3x=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-23\right)+\frac{5}{2}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}\left(-23\right)+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=32,x=11$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=-23$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=-1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-5x=-23,y-3x=-1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-5x=-23 मधून y-3x=-1 वजा करा.

$$y-y-5x+3x=-23+1$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5x+3x=-23+1$$

-5x ते 3x जोडा.

$$-2x=-23+1$$

-23 ते 1 जोडा.

$$-2x=-22$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=11$$

y-3x=-1 मध्ये x साठी 11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-3\times 11=-1$$

11 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$y-33=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 33 जोडा.

$$y=32$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=32,x=11$$