{l}{y=5x+3}{y=-2x-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=-4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-5x=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5x जोडा.

$$y=5x+3$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 5x+3 चा विकल्प वापरा, y+2x=-4.

$$5x+3+2x=-4$$

5x ते 2x जोडा.

$$7x+3=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3 वजा करा.

$$7x=-7$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=-1$$

y=5x+3 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=5\left(-1\right)+3$$

-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-5+3$$

3 ते -5 जोडा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-2,x=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=-4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-2,x=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$y-5x=3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=-4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-5x=3 मधून y+2x=-4 वजा करा.

$$y-y-5x-2x=3+4$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5x-2x=3+4$$

-5x ते -2x जोडा.

$$-7x=3+4$$

3 ते 4 जोडा.

$$-7x=7$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-1$$

y+2x=-4 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

-1 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y-2=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-2,x=-1$$