{l}{y=3x+9}{y=-5x-15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 9 } \\ { y = - 5 x - 15 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5x जोडा.

$$y+5x=-15$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-3x=9,y+5x=-15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-3x=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$y=3x+9$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 9+3x चा विकल्प वापरा, y+5x=-15.

$$3x+9+5x=-15$$

3x ते 5x जोडा.

$$8x+9=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 9 वजा करा.

$$8x=-24$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=-3$$

y=3x+9 मध्ये x साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=3\left(-3\right)+9$$

-3 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-9+9$$

9 ते -9 जोडा.

$$y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=0,x=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5x जोडा.

$$y+5x=-15$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-3x=9,y+5x=-15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-3\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 9+\frac{3}{8}\left(-15\right)\\-\frac{1}{8}\times 9+\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=0,x=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 5x जोडा.

$$y+5x=-15$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-3x=9,y+5x=-15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-3x=9 मधून y+5x=-15 वजा करा.

$$y-y-3x-5x=9+15$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3x-5x=9+15$$

-3x ते -5x जोडा.

$$-8x=9+15$$

9 ते 15 जोडा.

$$-8x=24$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=-3$$

y+5x=-15 मध्ये x साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+5\left(-3\right)=-15$$

-3 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$y-15=-15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=0,x=-3$$