{l}{y=3x+2}{3x=2+3y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x + 2 } \\ { 3 x = 2 + 3 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$3x-3y=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-3x=2,-3y+3x=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-3x=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3x जोडा.

$$y=3x+2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 3x+2 चा विकल्प वापरा, -3y+3x=2.

$$-3\left(3x+2\right)+3x=2$$

3x+2 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-9x-6+3x=2$$

-9x ते 3x जोडा.

$$-6x-6=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-6x=8$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=-\frac{4}{3}$$

y=3x+2 मध्ये x साठी -\frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=3\left(-\frac{4}{3}\right)+2$$

-\frac{4}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-4+2$$

2 ते -4 जोडा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-2,x=-\frac{4}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$3x-3y=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-3x=2,-3y+3x=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-2,x=-\frac{4}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$y-3x=2$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$3x-3y=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-3x=2,-3y+3x=2$$

y आणि -3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\times 2,-3y+3x=2$$

सरलीकृत करा.

$$-3y+9x=-6,-3y+3x=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3y+9x=-6 मधून -3y+3x=2 वजा करा.

$$-3y+3y+9x-3x=-6-2$$

-3y ते 3y जोडा. -3y आणि 3y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9x-3x=-6-2$$

9x ते -3x जोडा.

$$6x=-6-2$$

-6 ते -2 जोडा.

$$6x=-8$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-\frac{4}{3}$$

-3y+3x=2 मध्ये x साठी -\frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3y+3\left(-\frac{4}{3}\right)=2$$

-\frac{4}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-3y-4=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-3y=6$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-2,x=-\frac{4}{3}$$