{l}{y=2x-40}{3x+y=1}quadtext{(2)}{l}{3x-5y=3}{x/2-y/3=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 40 } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right. \quad \text { (2) } \left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{41}{5} = 8\frac{1}{5} = 8.2$$

$$y = -\frac{118}{5} = -23\frac{3}{5} = -23.6$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=-40$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-2x=-40,y+3x=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-2x=-40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2x जोडा.

$$y=2x-40$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -40+2x चा विकल्प वापरा, y+3x=1.

$$2x-40+3x=1$$

2x ते 3x जोडा.

$$5x-40=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 40 जोडा.

$$5x=41$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{41}{5}$$

y=2x-40 मध्ये x साठी \frac{41}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=2\times \frac{41}{5}-40$$

\frac{41}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{82}{5}-40$$

-40 ते \frac{82}{5} जोडा.

$$y=-\frac{118}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{118}{5},x=\frac{41}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=-40$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-2x=-40,y+3x=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-40\right)+\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{118}{5}\\\frac{41}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{118}{5},x=\frac{41}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=-40$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-2x=-40,y+3x=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-2x=-40 मधून y+3x=1 वजा करा.

$$y-y-2x-3x=-40-1$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2x-3x=-40-1$$

-2x ते -3x जोडा.

$$-5x=-40-1$$

-40 ते -1 जोडा.

$$-5x=-41$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=\frac{41}{5}$$

y+3x=1 मध्ये x साठी \frac{41}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+3\times \frac{41}{5}=1$$

\frac{41}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$y+\frac{123}{5}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{123}{5} वजा करा.

$$y=-\frac{118}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{118}{5},x=\frac{41}{5}$$