{l}{y=2x+8}{3x+2y=-12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-2x=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2x जोडा.

$$y=2x+8$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी 8+2x चा विकल्प वापरा, 2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

8+2x ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+16+3x=-12$$

4x ते 3x जोडा.

$$7x+16=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 16 वजा करा.

$$7x=-28$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=-4$$

y=2x+8 मध्ये x साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

-4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-8+8$$

8 ते -8 जोडा.

$$y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=0,x=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=0,x=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

y आणि 2y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

सरलीकृत करा.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2y-4x=16 मधून 2y+3x=-12 वजा करा.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

2y ते -2y जोडा. 2y आणि -2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4x-3x=16+12$$

-4x ते -3x जोडा.

$$-7x=16+12$$

16 ते 12 जोडा.

$$-7x=28$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=-4$$

2y+3x=-12 मध्ये x साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

-4 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2y-12=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$2y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=0,x=-4$$