{l}{y=-x-7}{5y+3x=-13} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 7 } \\ { 5 y + 3 x = - 13 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-11$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$y+x=-7$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+x=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून x वजा करा.

$$y=-x-7$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -x-7 चा विकल्प वापरा, 5y+3x=-13.

$$5\left(-x-7\right)+3x=-13$$

-x-7 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-5x-35+3x=-13$$

-5x ते 3x जोडा.

$$-2x-35=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 35 जोडा.

$$-2x=22$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-11$$

y=-x-7 मध्ये x साठी -11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\left(-11\right)-7$$

-11 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$y=11-7$$

-7 ते 11 जोडा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=-11$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$y+x=-7$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=-11$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$y+x=-7$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

y आणि 5y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13$$

सरलीकृत करा.

$$5y+5x=-35,5y+3x=-13$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5y+5x=-35 मधून 5y+3x=-13 वजा करा.

$$5y-5y+5x-3x=-35+13$$

5y ते -5y जोडा. 5y आणि -5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5x-3x=-35+13$$

5x ते -3x जोडा.

$$2x=-35+13$$

-35 ते 13 जोडा.

$$2x=-22$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-11$$

5y+3x=-13 मध्ये x साठी -11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5y+3\left(-11\right)=-13$$

-11 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$5y-33=-13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 33 जोडा.

$$5y=20$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=-11$$