{l}{y=-4x-17}{-2x+6y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 17 } \\ { - 2 x + 6 y = 2 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-4$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$y+4x=-17$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+4x=-17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$y=-4x-17$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -4x-17 चा विकल्प वापरा, 6y-2x=2.

$$6\left(-4x-17\right)-2x=2$$

-4x-17 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-24x-102-2x=2$$

-24x ते -2x जोडा.

$$-26x-102=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 102 जोडा.

$$-26x=104$$

दोन्ही बाजूंना -26 ने विभागा.

$$x=-4$$

y=-4x-17 मध्ये x साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-4\left(-4\right)-17$$

-4 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$y=16-17$$

-17 ते 16 जोडा.

$$y=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-1,x=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$y+4x=-17$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4\times 6}&-\frac{4}{-2-4\times 6}\\-\frac{6}{-2-4\times 6}&\frac{1}{-2-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-17\right)+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{3}{13}\left(-17\right)-\frac{1}{26}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-1,x=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$y+4x=-17$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+4x=-17,6y-2x=2$$

y आणि 6y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$6y+6\times 4x=6\left(-17\right),6y-2x=2$$

सरलीकृत करा.

$$6y+24x=-102,6y-2x=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y+24x=-102 मधून 6y-2x=2 वजा करा.

$$6y-6y+24x+2x=-102-2$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$24x+2x=-102-2$$

24x ते 2x जोडा.

$$26x=-102-2$$

-102 ते -2 जोडा.

$$26x=-104$$

दोन्ही बाजूंना 26 ने विभागा.

$$x=-4$$

6y-2x=2 मध्ये x साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$6y-2\left(-4\right)=2$$

-4 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$6y+8=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$6y=-6$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-1,x=-4$$