{l}{y=-2x-4}{y=x-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x - 4 } \\ { y = x - 3 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+2x=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2x वजा करा.

$$y=-2x-4$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -2x-4 चा विकल्प वापरा, y-x=-3.

$$-2x-4-x=-3$$

-2x ते -x जोडा.

$$-3x-4=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$-3x=1$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{3}$$

y=-2x-4 मध्ये x साठी -\frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-2\left(-\frac{1}{3}\right)-4$$

-\frac{1}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{2}{3}-4$$

-4 ते \frac{2}{3} जोडा.

$$y=-\frac{10}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+2x=-4,y-x=-3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y+2x=-4 मधून y-x=-3 वजा करा.

$$y-y+2x+x=-4+3$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2x+x=-4+3$$

2x ते x जोडा.

$$3x=-4+3$$

-4 ते 3 जोडा.

$$3x=-1$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{3}$$

y-x=-3 मध्ये x साठी -\frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-\left(-\frac{1}{3}\right)=-3$$

-\frac{1}{3} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$y+\frac{1}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{3} वजा करा.

$$y=-\frac{10}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{10}{3},x=-\frac{1}{3}$$