{l}{y=-2x}{4x+6y=24} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-3$$

$$y=6$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+2x=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2x वजा करा.

$$y=-2x$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -2x चा विकल्प वापरा, 6y+4x=24.

$$6\left(-2\right)x+4x=24$$

-2x ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-12x+4x=24$$

-12x ते 4x जोडा.

$$-8x=24$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=-3$$

y=-2x मध्ये x साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-2\left(-3\right)$$

-3 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=6,x=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 6}&-\frac{2}{4-2\times 6}\\-\frac{6}{4-2\times 6}&\frac{1}{4-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=6,x=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$y+2x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

y आणि 6y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$6y+6\times 2x=0,6y+4x=24$$

सरलीकृत करा.

$$6y+12x=0,6y+4x=24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y+12x=0 मधून 6y+4x=24 वजा करा.

$$6y-6y+12x-4x=-24$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12x-4x=-24$$

12x ते -4x जोडा.

$$8x=-24$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=-3$$

6y+4x=24 मध्ये x साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$6y+4\left(-3\right)=24$$

-3 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-12=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$6y=36$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=6,x=-3$$