{l}{y=x+3/2+3}{y=2x+10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x + 3 } { 2 } + 3 } \\ { y = 2 x + 10 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} मिळविण्यासाठी x+3 च्या प्रत्येक टर्मला 2 ने भागा.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2} मिळविण्यासाठी \frac{3}{2} आणि 3 जोडा.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{9+x}{2} चा विकल्प वापरा, y-2x=10.

$$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}-2x=10$$

\frac{x}{2} ते -2x जोडा.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$-\frac{3}{2}x=\frac{11}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{11}{3}$$

y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2} मध्ये x साठी -\frac{11}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{11}{3} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{11}{6}+\frac{9}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{2} ते -\frac{11}{6} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} मिळविण्यासाठी x+3 च्या प्रत्येक टर्मला 2 ने भागा.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2} मिळविण्यासाठी \frac{3}{2} आणि 3 जोडा.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=10$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{1}{3}\times 10\\\frac{2}{3}\times \frac{9}{2}-\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} मिळविण्यासाठी x+3 च्या प्रत्येक टर्मला 2 ने भागा.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}+3$$

\frac{9}{2} मिळविण्यासाठी \frac{3}{2} आणि 3 जोडा.

$$y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$y-2x=10$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2},y-2x=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2} मधून y-2x=10 वजा करा.

$$y-y-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{1}{2}x+2x=\frac{9}{2}-10$$

-\frac{x}{2} ते 2x जोडा.

$$\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}-10$$

\frac{9}{2} ते -10 जोडा.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{11}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{11}{3}$$

y-2x=10 मध्ये x साठी -\frac{11}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-2\left(-\frac{11}{3}\right)=10$$

-\frac{11}{3} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$y+\frac{22}{3}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{22}{3} वजा करा.

$$y=\frac{8}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{8}{3},x=-\frac{11}{3}$$