{l}{y=1/3x+1}{y=4/3x-2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 1 } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x - 2 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{3}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{4}{3}x वजा करा.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{x}{3} जोडा.

$$y=\frac{1}{3}x+1$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{x}{3}+1 चा विकल्प वापरा, y-\frac{4}{3}x=-2.

$$\frac{1}{3}x+1-\frac{4}{3}x=-2$$

\frac{x}{3} ते -\frac{4x}{3} जोडा.

$$-x+1=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$-x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=3$$

y=\frac{1}{3}x+1 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{1}{3}\times 3+1$$

3 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=1+1$$

1 ते 1 जोडा.

$$y=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=2,x=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{3}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{4}{3}x वजा करा.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\1-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=2,x=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{3}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{3}x=1$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{4}{3}x वजा करा.

$$y-\frac{4}{3}x=-2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-\frac{1}{3}x=1,y-\frac{4}{3}x=-2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून y-\frac{1}{3}x=1 मधून y-\frac{4}{3}x=-2 वजा करा.

$$y-y-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x=1+2$$

-\frac{x}{3} ते \frac{4x}{3} जोडा.

$$x=1+2$$

1 ते 2 जोडा.

$$x=3$$

y-\frac{4}{3}x=-2 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y-\frac{4}{3}\times 3=-2$$

3 ला -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y-4=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$y=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=2,x=3$$