{l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{x}{2} जोडा.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{x}{2}+1 चा विकल्प वापरा, 2y+3x=-2.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

\frac{x}{2}+1 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x+2+3x=-2$$

x ते 3x जोडा.

$$4x+2=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$4x=-4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=-1$$

y=\frac{1}{2}x+1 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

-1 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

1 ते -\frac{1}{2} जोडा.

$$y=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

y आणि 2y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

सरलीकृत करा.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2y-x=2 मधून 2y+3x=-2 वजा करा.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

2y ते -2y जोडा. 2y आणि -2y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-x-3x=2+2$$

-x ते -3x जोडा.

$$-4x=2+2$$

2 ते 2 जोडा.

$$-4x=4$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-1$$

2y+3x=-2 मध्ये x साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

-1 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2y-3=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$2y=1$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$