{l}{y+4x-6=0}{3x-y=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { y + 4 x - 6 = 0 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = -\frac{10}{7} = -1\frac{3}{7} \approx -1.428571429$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$y+4x-6=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$y+4x=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$y=-4x+6$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -4x+6 चा विकल्प वापरा, -y+3x=7.

$$-\left(-4x+6\right)+3x=7$$

-4x+6 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-6+3x=7$$

4x ते 3x जोडा.

$$7x-6=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$7x=13$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{13}{7}$$

y=-4x+6 मध्ये x साठी \frac{13}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-4\times \frac{13}{7}+6$$

\frac{13}{7} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{52}{7}+6$$

6 ते -\frac{52}{7} जोडा.

$$y=-\frac{10}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$y+4x-6=0,-y+3x=7$$

y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7$$

सरलीकृत करा.

$$-y-4x+6=0,-y+3x=7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -y-4x+6=0 मधून -y+3x=7 वजा करा.

$$-y+y-4x-3x+6=-7$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4x-3x+6=-7$$

-4x ते -3x जोडा.

$$-7x+6=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-7x=-13$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=\frac{13}{7}$$

-y+3x=7 मध्ये x साठी \frac{13}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y+3\times \frac{13}{7}=7$$

\frac{13}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-y+\frac{39}{7}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{39}{7} वजा करा.

$$-y=\frac{10}{7}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-\frac{10}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}$$